Покер и математика

Casino_Royale

А вы знаете, что в покер выиграть проще, чем в лотерею? Количество выигрышных комбинаций в покере практически такое же, как и «пустых». А вот ценность у комбинаций разная.

Профессор математики и профессиональный фокусник Артур Бенджамин в книге «Магия математики: Как найти икс и зачем это нужно» рассказывает, от чего зависит ценность комбинаций и как игрокам рассчитать свои шансы на победу.

Для начала немного о сочетаниях и комбинациях

Допустим, вам предлагают наполнить рожок 3 шариками разных сортов мороженого. Всего можно выбирать из 10 сортов. Сколько всего можно получить разных рожков? Не забудьте: порядок шариков разных сортов имеет значение (а как же иначе? Ведь вкус-то разный!). Если повторяться можно, получается, что у нас есть 10 вариантов для каждого из трех шариков: 103 = 1000 вероятных комбинаций. Ну а если нельзя — их количество сокращается до 10 × 9 × 8 = 720, как показано на картинке чуть ниже.

Теперь кое-что поинтереснее. Как будут лежать три шарика трех разных сортов в вазочке, если их порядок не важен? Можно сказать точно: их будет меньше. А конкретно — в 6 раз меньше. Попытаемся понять, почему. Лежащие в вазочке 3 шарика мороженого 3 разных сортов (допустим, шоколадное, ванильное и мятное) можно переложить в рожок 3! = 6 способами. Значит, из 1 варианта вазочки можно собрать 6 вариантов рожков. Количество вазочек, таким образом, будет равняться

19

Другой способ представить 10 × 9 × 8 — 10!/7! (хотя первый пример, конечно, легче подсчитать). Значит, количество чашек — 10!/3!7!. Такая запись читается как «число сочетаний из 10 по 3», обозначается символом

20

Другими словами, число вариантов при выборе определенного количества различных объектов, равного n, из общего количества различных объектов, равного k (в произвольном порядке), называется «числом сочетаний из n по k» и подсчитывается по формуле

21

Математики называют такого рода вычисления сочетаниями или комбинациями. Вычисления же при строго определенном порядке объектов называется перестановкой или пермутацией. Эти два понятия часто путают: например, мы привыкли думать, что на «кодовом» замке нужно подбирать «комбинации» цифр.

Лотерея

Подсчет сочетаний необходим в большинстве задач, в которых большую роль играет случайность. Представим себе лотерею, в которой вам нужно угадать 5 различных чисел от 1 до 47. Дополнительно вы выбираете еще одно, МЕГА-число от 1 до 27 (можно выбирать любое, в том числе и одно из тех, которые уже встречались в пятерке). Таким образом, общее количество равно

22

Другими словами, ваш шанс выиграть главный приз в такой лотерее — примерно 1 из 40 миллионов.

А теперь покер

Комбинация в покере — это обычно 5 карт из 52 составляющих колоду. Все они разные, выбраны случайно, порядок их значения не имеет. Следовательно, количество комбинаций равняется

23

Комбинация из 5 карт одной и той же масти называется флешем.

24

Чтобы посчитать, сначала выберем масть — 1 из 4 вариантов (давайте договоримся, что это будут пики). Сколько всего можгно собрать комбинаций разных пяти карт этой масти? В колоде 13 пиковых карт. Значит, флешей всего

25

и наши шансы получить один из них составляют 5148/2 598 960, то есть примерно 1 к 500. Любители покера теперь могут вычесть из 5148 призведение 4 × 10 = 40, чтобы узнать, какова вероятность, что собрать стрит флеш — такой флеш, в котором карты одной масти идут подряд по старшинству.

При простом стрите масти в расчет не принимаются, главное — последовательный набор карт: Т-2-3-4-5 или 2-3-4-5-6, или …, или 10-В-Д-К-Т. Вот так, например:

26

Стрит может сложиться из 10 разных комбинаций (ценность которых определяется «ценностью» младшей карты). Определив ту из них, которая нужна нам (пусть будет 3-4-5-6-7), мы выбираем одну из 4 мастей, которой должны быть все карты. Следовательно, количество комбинаций стрита равняется 10×45=10 240. то есть, почти в 2 раза выше, чем у флеша. А шанс его получить — 1 к 250. Именно поэтому флеш в покере ценится больше: его куда сложнее собрать.

Еще более ценен фул-хаус — 3 карты одного достоинства плюс 2 карты другого. Что-то вроде этого

27

Чтобы подсчитать свои шансы на фул-хаус, нам сперва нужно выбрать необходимое нам достоинство, которое попадется нам трижды (13 вариантов), потом — то, которое попадется дважды (12 вариантов). Допустим, нам нужны 3 дамы и 2 семерки. Определимся с мастями. Получить нужных нам дам можно

28

Общее количество фул-хаусов, таким образом, равняется 13×12×4×6=3744. Следовательно, вероятность его собрать — 3 744/2 598 960 или 1 к 700.

От фул-хаусов перейдем к двум парам. Здесь нам нужны две карты одного достоинства, еще две — другого, и последняя — третьего, например

29

Пытаясь посчитать количество возможных пар, многие ошибочно начинают с 13 × 12, как в случае с фул-хаусами. Но теперь нам нужно немного другое, ведь здесь вероятность получить две семерки после двух дам — это абсолютно то же, что и получить двух дам после двух семерок.

Поэтому правильно будет начать с сочетаний из 13 по 2 (имея в виду и семерки, и дам), потом выбрать новое достоинство для непарной карты (пусть это будет пятерка), затем выбрать масти. Количество комбинаций с двумя парами —

30

Появляются они в 5% случаев.

Подробнее на всех вариантах раздач мы останавливаться не будем, но я попрошу вас взглянуть на следующие подсчеты и проверить, насколько они верны. Комбинаций с каре (четыре карты одного достоинства) вроде Т♠Т♥Т♦Т♣8♦, может быть

31

А сколько же может быть «пустых» комбинацций— без пар, без стритов и без флешей? Можете, конечно, сложить все числа, которые мы получили до этого и вычесть сумму из сочетаний 52 по 2, но я облегчу вам жизнь и просто дам ответ:

32

Первая часть — это количество комбинаций 5 карт разного достоинства за вычетом 10 последовательных (вроде 3-4-5-6-7). Следующая часть охватывает вероятные «расклады» этих 5 карт разного достоинства; для каждого достоинства у нас есть 4 варианта, но при этом мы должны исключить возможность того, что все они встретятся в одном «раскладе». Все это значит, что наши шансы собрать «пустую» комбинацию — 50,1 %. А еще это значит, что в 49,9 % случаев мы будем играть как минимум с одной парой. Гораздо больше, чем выигрышных билетов в лотерею, правда?

Я уже говорил чуть выше, что «цена» комбинаций в покере зависит от частоты их появлений: чем реже комбинация, тем она «ценнее». То есть, если шансов собрать одну пару больше, чем сразу две, одна пара ценится куда меньше двух. Вот «стоимость» всех комбинаций, от меньшей к большей:

Пара
Две пары
Тройка
Стрит
Флеш
Фул-хаус
Каре (или «четверка»)
Стрит-флеш

face_96dpi_RGB_1000_magiya matematiki obl 04_2016



Рубрики: Разное

Алина Сайдашева
Автор: